反比例函数的知识梳理与图像性质技巧总结~

函数的相关知识作为每年各省市中考的热门考点问题,主要考察学生能否结合具体实际情境了解正比例函数、反比例函数、一次函数及二次函数的相关的意义,能否正确画出相关函数的图象并理解相关函数的性质进行应用,其中反比例函数主要联系一次函数、二次函数以及方程不等式进行综合考察,而反比例函数的几何意义也需要引起足够的重视,本文主要讲解反比例函数的概念、图象性质等知识,其他未涉及内容我们将会后续更新出来,也请大家持续关注~接下来我们将进行详细的讲解,希望对大家有所帮助~有什么问题都可以留言、评论指教说明~

反比例函数的知识梳理与图像性质技巧总结~

一、反比例函数的定义

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【拓展说明】我们根据负指数幂的相关知识可知反比例函数表达式也可写成下列形式:

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1.反比例函数解析式的结构特征

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2.自变量及函数值的取值范围

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二、反比例函数的图象

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我们可观察图象获知:① 反比例函数的图象是由两条曲线组成,它是双曲线的形式.② 每条曲线随着 x 的不断增大(或减小)越来越接近坐标轴,但与坐标轴无交点.

【总结强调】

于是我们可以总结出反比例函数图象的画法步骤:①列表:自变量的取值应以原点为中心,在原点的两侧取三对(或三对以上)互为相反数的值,填写 y 值时,只需计算一侧的函数值,另一侧的函数值是与之对应的相反数;②描点:描出一侧的点后,另一侧可根据中心对称去描点;③连线:按照从左到右的顺序连接各点并延伸,连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接,切忌画成折线,注意双曲钱的两个分支是断开的,延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势,但永远不与坐标轴相交;

三、反比例函数的性质

1.函数图象经过的象限及增减性、对称性

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【注意】①叙述反比例函数的变化规律时,一定要加上“在每一个象限内”,我们可以简单的理解是由于反比例函数图象的“不连续”造成的分段;②同时反比例函数中自变量 x 和函数 y 的值都不能为零,所以图象和 x 轴、y 轴都没有交点,但画图时要体现出反比例函数的图象和坐标轴是无限贴近的趋势,但永不相交;

2.反比例函数的对称性

关于反比例函数的对称性需要特别说明,反比例函数的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形.① 当反比例函数是轴对称图形,双曲线的图象关于直线 y=x 和 y=-x 成轴对称.

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②当反比例函数是中心对称图形时,双曲线的两支图象关于原点成中心对称.如下图所示,若已知OP=OP’,以及点P(x,y),则可得P’(-x,-y).

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【总结强调】由于正比例函数和反比例函数都是关于原点中心对称的函数,因此两个函数的交点一定关于原点成中心对称.

四、反比例函数的解析式

针对于反比例函数的标准解析式中,我们可以知道函数只有一个系数“k”,因而只有确定了“k”的值,也就确定了反比例函数的解析式,因此利用待定系数法知道一个函数图象上的点的坐标即可确定反比例函数的解析式.

1.待定系数法求反比例函数解析式

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【拓展说明】

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2.反比例函数解析式与反比例函数图象的关系

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【判断方法】

①由点的坐标确定此点在某函数图象上

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②已知点在函数上得到此点的横纵坐标的关系

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